Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.28

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.28

Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания для следующих кривых:

1. спирали Архимеда r=aφr = a\varphi;
2. гиперболической спирали r=a/φr = a/\varphi;
3. логарифмической спирали r=aebφr = ae^{b\varphi};
4. кардиоиды r=a(cos⁡φ+1)r = a(\cos\varphi + 1);
5. дуги лемнискаты Бернулли r2=a2cos⁡2φr^{2} = a^{2}\cos 2\varphi, 0<φ<π/40 < \varphi < \pi/4.
Ответ:1) arctg⁡φ;1)\ \arctg\varphi;
2) arctg⁡φ;2)\ \arctg\varphi;
3) arctg⁡1b;3)\ \arctg\dfrac{1}{b};
4) ∣π−φ∣2 при 0<φ<π  или π<φ<2π;4)\ \dfrac{|\pi - \varphi|}{2}\ \text{при}\ 0<\varphi<\pi\ \ \text{или}\ \pi<\varphi<2\pi;
5) π2−2φ5)\ \dfrac{\pi}{2} - 2\varphi

Решение

Угол ω\omega между касательной и полярным радиусом находится по формуле tg⁡ω=r∣r′∣\tg\omega = \dfrac{r}{|r'|} (задача 27).

Для r=aφr = a\varphi полярный радиус неотрицателен, поэтому φ≥0\varphi \ge 0 (при a>0a>0).
r′=ar' = a, ∣r′∣=a|r'| = a.tg⁡ω=aφa=φ⟹ω=arctg⁡φ.\tg\omega = \frac{a\varphi}{a} = \varphi \quad\Longrightarrow\quad \omega = \arctg\varphi.Для r=aφr = \dfrac{a}{\varphi} имеем φ>0\varphi > 0 (радиус положителен).
r′=−aφ2r' = -\dfrac{a}{\varphi^{2}}, ∣r′∣=aφ2|r'| = \dfrac{a}{\varphi^{2}}.tg⁡ω=a/φa/φ2=φ⟹ω=arctg⁡φ.\tg\omega = \frac{a/\varphi}{a/\varphi^{2}} = \varphi \quad\Longrightarrow\quad \omega = \arctg\varphi.Для r=aebφr = ae^{b\varphi} (a>0, b>0a>0,\ b>0).
r′=abebφr' = abe^{b\varphi}, ∣r′∣=abebφ|r'| = abe^{b\varphi}.tg⁡ω=aebφabebφ=1b⟹ω=arctg⁡1b.\tg\omega = \frac{ae^{b\varphi}}{abe^{b\varphi}} = \frac{1}{b} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \arctg\frac{1}{b}.Для r=a(cos⁡φ+1)r = a(\cos\varphi + 1).
r′=−asin⁡φr' = -a\sin\varphi, ∣r′∣=a∣sin⁡φ∣|r'| = a|\sin\varphi|.tg⁡ω=a(1+cos⁡φ)a∣sin⁡φ∣=1+cos⁡φ∣sin⁡φ∣.\tg\omega = \frac{a(1+\cos\varphi)}{a|\sin\varphi|} = \frac{1+\cos\varphi}{|\sin\varphi|}.Применяем тождества 1+cos⁡φ=2cos⁡2φ21+\cos\varphi = 2\cos^{2}\dfrac{\varphi}{2}, ∣sin⁡φ∣=2∣sin⁡φ2cos⁡φ2∣|\sin\varphi| = 2\bigl|\sin\dfrac{\varphi}{2}\cos\dfrac{\varphi}{2}\bigr|. Тогдаtg⁡ω=2cos⁡2φ22∣sin⁡φ2cos⁡φ2∣=∣cos⁡φ2∣∣sin⁡φ2∣=∣ctg⁡φ2∣.\tg\omega = \frac{2\cos^{2}\dfrac{\varphi}{2}}{2\bigl|\sin\dfrac{\varphi}{2}\cos\dfrac{\varphi}{2}\bigr|} = \frac{|\cos\dfrac{\varphi}{2}|}{\bigl|\sin\dfrac{\varphi}{2}\bigr|} = \bigl|\ctg\dfrac{\varphi}{2}\bigr|.Следовательно, ω=arctg⁡∣ctg⁡φ2∣\omega = \arctg\bigl|\ctg\dfrac{\varphi}{2}\bigr|. Для 0<φ<π0<\varphi<\pi и π<φ<2π\pi<\varphi<2\pi (исключая φ=π\varphi=\pi, где кривая проходит через полюс) получаемω=∣π−φ∣2.\omega = \frac{|\pi - \varphi|}{2}.Для r2=a2cos⁡2φr^{2} = a^{2}\cos 2\varphi, 0<φ<π/40 < \varphi < \pi/4. В этом интервале cos⁡2φ>0\cos 2\varphi > 0, sin⁡2φ>0\sin 2\varphi > 0.
Дифференцируем неявно: 2rr′=−2a2sin⁡2φ  ⇒  r′=−a2sin⁡2φr2rr' = -2a^{2}\sin 2\varphi \;\Rightarrow\; r' = -\dfrac{a^{2}\sin 2\varphi}{r}.
∣r′∣=a2sin⁡2φr|r'| = \dfrac{a^{2}\sin 2\varphi}{r}.tg⁡ω=ra2sin⁡2φr=r2a2sin⁡2φ=a2cos⁡2φa2sin⁡2φ=ctg⁡2φ.\tg\omega = \frac{r}{\dfrac{a^{2}\sin 2\varphi}{r}} = \frac{r^{2}}{a^{2}\sin 2\varphi} = \frac{a^{2}\cos 2\varphi}{a^{2}\sin 2\varphi} = \ctg 2\varphi.Отсюда ω=arctg⁡(ctg⁡2φ)=π2−2φ\omega = \arctg(\ctg 2\varphi) = \dfrac{\pi}{2} - 2\varphi.
Кудрявцев № 14.28 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика