Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.27

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 14.27

Доказать, что если r=f(φ)r = f(\varphi) — уравнение кривой в полярной системе координат и ω\omega — угол, образованный касательной и полярным радиусом точки касания, тоtg⁡ω=r∣r′∣.\tg\omega = \frac{r}{|r'|}.

Доказательство

Перейдём к декартовым координатам: x=rcos⁡φx = r\cos\varphi, y=rsin⁡φy = r\sin\varphi, где r=f(φ)r = f(\varphi).
Дифференцируем по φ\varphi:dxdφ=r′cos⁡φ−rsin⁡φ,dydφ=r′sin⁡φ+rcos⁡φ.\frac{dx}{d\varphi} = r'\cos\varphi - r\sin\varphi,\qquad
\frac{dy}{d\varphi} = r'\sin\varphi + r\cos\varphi.Угловой коэффициент касательной:tg⁡α=dydx=r′sin⁡φ+rcos⁡φr′cos⁡φ−rsin⁡φ,\tg\alpha = \frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi},где α\alpha — угол наклона касательной к оси OxOx.

Полярный радиус составляет с осью OxOx угол φ\varphi; его угловой коэффициент tg⁡φ=sin⁡φcos⁡φ\tg\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}.

Угол ω\omega между касательной и полярным радиусом равен α−φ\alpha - \varphi (с точностью до знака). По формуле тангенса разности:tg⁡ω=tg⁡(α−φ)=tg⁡α−tg⁡φ1+tg⁡α tg⁡φ.\tg\omega = \tg(\alpha - \varphi) = \frac{\tg\alpha - \tg\varphi}{1 + \tg\alpha\,\tg\varphi}.Подставляем tg⁡α\tg\alpha и tg⁡φ\tg\varphi:tg⁡ω=r′sin⁡φ+rcos⁡φr′cos⁡φ−rsin⁡φ−sin⁡φcos⁡φ1+r′sin⁡φ+rcos⁡φr′cos⁡φ−rsin⁡φ⋅sin⁡φcos⁡φ.\tg\omega = \frac{ \dfrac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} - \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} }
{ 1 + \dfrac{r'\sin\varphi + r\cos\varphi}{r'\cos\varphi - r\sin\varphi} \cdot \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} }.Приводим числитель и знаменатель к общему знаменателю (r′cos⁡φ−rsin⁡φ)cos⁡φ(r'\cos\varphi - r\sin\varphi)\cos\varphi.
Числитель:(r′sin⁡φ+rcos⁡φ)cos⁡φ−sin⁡φ (r′cos⁡φ−rsin⁡φ)=r′sin⁡φcos⁡φ+rcos⁡2φ−r′sin⁡φcos⁡φ+rsin⁡2φ=r(cos⁡2φ+sin⁡2φ)=r.\begin{aligned}
&(r'\sin\varphi + r\cos\varphi)\cos\varphi - \sin\varphi\,(r'\cos\varphi - r\sin\varphi)\\
&= r'\sin\varphi\cos\varphi + r\cos^2\varphi - r'\sin\varphi\cos\varphi + r\sin^2\varphi\\
&= r(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = r.
\end{aligned}
Знаменатель:(r′cos⁡φ−rsin⁡φ)cos⁡φ+(r′sin⁡φ+rcos⁡φ)sin⁡φ=r′cos⁡2φ−rsin⁡φcos⁡φ+r′sin⁡2φ+rsin⁡φcos⁡φ=r′(cos⁡2φ+sin⁡2φ)=r′.\begin{aligned}
&(r'\cos\varphi - r\sin\varphi)\cos\varphi + (r'\sin\varphi + r\cos\varphi)\sin\varphi\\
&= r'\cos^2\varphi - r\sin\varphi\cos\varphi + r'\sin^2\varphi + r\sin\varphi\cos\varphi\\
&= r'(\cos^2\varphi + \sin^2\varphi) = r'.
\end{aligned}Таким образом,tg⁡ω=rr′.\tg\omega = \frac{r}{r'}.
Так как угол ω\omega принято считать острым (длина отрезка положительна), то окончательноtg⁡ω=r∣r′∣.\tg\omega = \frac{r}{|r'|}.

Проверка

Формула доказана.

Что и требовалось доказать

Кудрявцев № 14.27 — решение | Высшая математика — Профиматика