Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.26

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что у кривой

x = 2a(\ln\sin t - \sin^2 t), \quad y = a\sin 2t, \quad 0 < t < \pi, \quad a > 0,

сумма длин подкасательной и поднормали постоянна и равна

2a

Доказано:

T_0 + N_0 = 2a

Доказательство

Находим производные по

t

\begin{aligned}\dot x &= 2a\!\left(\dfrac{\cos t}{\sin t} - 2\sin t\cos t\right)= 2a\!\left(\ctg t - \sin 2t\right)= 2a\,\dfrac{\cos t(1 - 2\sin^2 t)}{\sin t}= 2a\,\dfrac{\cos t \cos 2t}{\sin t},\\[2mm]\dot y &= 2a\cos 2t.\end{aligned}

Следовательно,

y' = \dfrac{\dot y}{\dot x} = \dfrac{2a\cos 2t}{2a\dfrac{\cos t \cos 2t}{\sin t}} = \tg t

(при

\cos 2t \neq 0

, то есть

t \neq \dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}

и т.п., где

y=0

).
Ордината:

y = a\sin 2t = 2a\sin t \cos t

Проверка

Подкасательная:

T_0 = \left|\dfrac{y}{y'}\right| = \dfrac{2a\sin t \cos t}{|\tg t|}= 2a\sin t \cos t \cdot \dfrac{|\cos t|}{|\sin t|}= 2a\cos^2 t.

Поднормаль:

N_0 = |y y'| = 2a\sin t \cos t \cdot |\tg t|= 2a\sin t \cos t \cdot \dfrac{|\sin t|}{|\cos t|}= 2a\sin^2 t.

Суммируем:

T_0 + N_0 = 2a(\cos^2 t + \sin^2 t) = 2a.

Таким образом, сумма постоянна и равна

2a

Что и требовалось доказать