Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.25

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.25

Найти длины отрезков касательной и нормали у трактрисыx=a(ln⁡tg⁡t2+cos⁡t),y=asin⁡t,0<t<π,a>0.x = a\Bigl(\ln\tg\dfrac{t}{2} + \cos t\Bigr), \quad y = a\sin t, \quad 0 < t < \pi, \quad a > 0.
Ответ:T=a; N=a ∣tg⁡t∣T = a;\ N = a\,|\tg t|

Решение

Дифференцируем по tt:x˙=a ⁣(1tg⁡t2⋅12cos⁡2t2−sin⁡t)=a ⁣(12sin⁡t2cos⁡t2−sin⁡t)=a ⁣(1sin⁡t−sin⁡t)=a cos⁡2tsin⁡t,y˙=acos⁡t.\begin{aligned}
\dot x &= a\!\left(\dfrac{1}{\tg\dfrac{t}{2}}\cdot\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{t}{2}} - \sin t\right)
= a\!\left(\dfrac{1}{2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}} - \sin t\right)
= a\!\left(\dfrac{1}{\sin t} - \sin t\right)
= a\,\dfrac{\cos^2 t}{\sin t},\\[2mm]
\dot y &= a\cos t.
\end{aligned}Отсюда производнаяy′=y˙x˙=acos⁡tacos⁡2tsin⁡t=sin⁡tcos⁡t=tg⁡t.y' = \dfrac{\dot y}{\dot x} = \dfrac{a\cos t}{a\dfrac{\cos^2 t}{\sin t}} = \dfrac{\sin t}{\cos t} = \tg t.Ордината точки: y=asin⁡ty = a\sin t.

Длины отрезков вычисляем по формулам:T=∣yy′∣1+(y′)2,N=∣y∣1+(y′)2.T = \left|\dfrac{y}{y'}\right|\sqrt{1+(y')^2},\qquad
N = |y|\sqrt{1+(y')^2}.Находим∣yy′∣=asin⁡t∣tg⁡t∣=a∣cos⁡t∣,1+tg⁡2t=1∣cos⁡t∣.\left|\dfrac{y}{y'}\right| = \dfrac{a\sin t}{|\tg t|} = a|\cos t|,\qquad
\sqrt{1+\tg^2 t} = \dfrac{1}{|\cos t|}.ТогдаT=a∣cos⁡t∣⋅1∣cos⁡t∣=a,T = a|\cos t| \cdot \dfrac{1}{|\cos t|} = a,N=asin⁡t⋅1∣cos⁡t∣=a ∣tg⁡t∣.N = a\sin t \cdot \dfrac{1}{|\cos t|} = a\,|\tg t|.
Кудрявцев № 14.25 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика