Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.24

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.24

Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали у циклоидыx=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x = a(t - \sin t), \qquad y = a(1 - \cos t)в каждой её точке, не лежащей на оси абсцисс (a>0a > 0).
Ответ:T0=2asin⁡2t2 ∣tg⁡t2∣; N0=a ∣sin⁡t∣; T=2a sin⁡2t2∣cos⁡t2∣; N=2a ∣sin⁡t2∣T_0 = 2a\sin^2\dfrac{t}{2}\,|\tg\dfrac{t}{2}|;\ N_0 = a\,|\sin t|;\ T = 2a\,\dfrac{\sin^2\dfrac{t}{2}}{|\cos\dfrac{t}{2}|};\ N = 2a\,|\sin\dfrac{t}{2}|

Решение

Точки на оси абсцисс исключаем: y=0⇒1−cos⁡t=0⇒t=2πk,  k∈Zy = 0 \Rightarrow 1 - \cos t = 0 \Rightarrow t = 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}.
Таким образом, рассматриваем все t≠2πkt \neq 2\pi k. Для таких tt имеем sin⁡t2≠0\sin\dfrac{t}{2} \neq 0 (так как иначе t=2πkt = 2\pi k).

Находим производные по параметру tt:x˙=a(1−cos⁡t)=2asin⁡2t2,y˙=asin⁡t=2asin⁡t2cos⁡t2.\dot x = a(1 - \cos t) = 2a\sin^2\dfrac{t}{2},\qquad
\dot y = a\sin t = 2a\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}.Производная функции, заданной параметрически:y′=y˙x˙=2asin⁡t2cos⁡t22asin⁡2t2=ctg⁡t2.y' = \dfrac{\dot y}{\dot x} = \dfrac{2a\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}}{2a\sin^2\dfrac{t}{2}} = \ctg\dfrac{t}{2}.Ордината точки: y=a(1−cos⁡t)=2asin⁡2t2y = a(1 - \cos t) = 2a\sin^2\dfrac{t}{2}.

Длины отрезков (положительные величины) вычисляются по формулам:T0=∣yy′∣,N0=∣y y′∣,T=T01+(y′)2,N=∣y∣1+(y′)2.T_0 = \left|\dfrac{y}{y'}\right|,\quad
N_0 = |y\,y'|,\quad
T = T_0\sqrt{1+(y')^2},\quad
N = |y|\sqrt{1+(y')^2}.Подставляем yy и y′y':T0=2asin⁡2t2∣ctg⁡t2∣=2asin⁡2t2⋅∣tg⁡t2∣=2a sin⁡3t2∣cos⁡t2∣,N0=2asin⁡2t2⋅∣ctg⁡t2∣=2asin⁡t2 ∣cos⁡t2∣=a ∣sin⁡t∣.\begin{aligned}
T_0 &= \dfrac{2a\sin^2\dfrac{t}{2}}{|\ctg\dfrac{t}{2}|}
= 2a\sin^2\dfrac{t}{2}\cdot|\tg\dfrac{t}{2}|
= 2a\,\dfrac{\sin^3\dfrac{t}{2}}{|\cos\dfrac{t}{2}|},\\[4pt]
N_0 &= 2a\sin^2\dfrac{t}{2}\cdot|\ctg\dfrac{t}{2}|
= 2a\sin\dfrac{t}{2}\,|\cos\dfrac{t}{2}|
= a\,|\sin t|.
\end{aligned}Замечаем, что 1+ctg⁡2t2=1∣sin⁡t2∣\sqrt{1+\ctg^2\dfrac{t}{2}} = \dfrac{1}{|\sin\dfrac{t}{2}|}. ТогдаT=T0⋅1∣sin⁡t2∣=2a sin⁡3t2∣cos⁡t2∣⋅1∣sin⁡t2∣=2a sin⁡2t2∣cos⁡t2∣,N=2asin⁡2t2⋅1∣sin⁡t2∣=2a ∣sin⁡t2∣.\begin{aligned}
T &= T_0\cdot\dfrac{1}{|\sin\dfrac{t}{2}|}
= 2a\,\dfrac{\sin^3\dfrac{t}{2}}{|\cos\dfrac{t}{2}|}\cdot\dfrac{1}{|\sin\dfrac{t}{2}|}
= 2a\,\dfrac{\sin^2\dfrac{t}{2}}{|\cos\dfrac{t}{2}|},\\[4pt]
N &= 2a\sin^2\dfrac{t}{2}\cdot\dfrac{1}{|\sin\dfrac{t}{2}|}
= 2a\,|\sin\dfrac{t}{2}|.
\end{aligned}Все полученные выражения неотрицательны при любых допустимых tt и дают истинные геометрические длины отрезков.
Кудрявцев № 14.24 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика