Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.23

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти длины подкасательной и поднормали для кривой:

1.

y^{2}=x^{3}

;
2.

xy^{2}=1

Ответ:

1)\ T_{0}=\dfrac{2}{3}x,\ N_{0}=\dfrac{3}{2}x^{2}, x \neq 0;

2)\ T_{0}=2x,\ N_{0}=\dfrac{1}{2x^{2}}

Решение

Длины вычисляются по формулам

T_{0}=\left|\dfrac{y}{y'}\right|,\qquad N_{0}=|y\cdot y'|.

Для кривой

y^{2}=x^{3}

дифференцируем:

2y\,y'=3x^{2}\;\Rightarrow\;y'=\dfrac{3x^{2}}{2y}

(точки с

y=0

исключаем).

T_{0}=\left|\dfrac{y}{\dfrac{3x^{2}}{2y}}\right|=\left|\dfrac{2y^{2}}{3x^{2}}\right|.

Из уравнения

y^{2}=x^{3}

следует

x^{3}\ge 0

, откуда

x\ge 0

.

Поэтому

\dfrac{2y^{2}}{3x^{2}}=\dfrac{2x^{3}}{3x^{2}}=\dfrac{2}{3}x\ge 0

и модуль можно опустить:

T_{0}=\dfrac{2}{3}x.

N_{0}=|y\cdot\dfrac{3x^{2}}{2y}|=\left|\dfrac{3x^{2}}{2}\right|=\dfrac{3}{2}x^{2}.

При

x = 0

из уравнения

y^{2}=x^{3}

получаем

y = 0

. В этой точке производная, вычисленная по формуле

y' = \dfrac{3x^{2}}{2y}

, не определена (деление на ноль). Непосредственное дифференцирование функции

y = \pm x^{3/2}

показывает, что при

x = 0

производная равна нулю, но тогда подкасательная

T_{0} = |y/y'|

даёт неопределённость

0/0

. Поэтому точка

x = 0

исключается, и все вычисления ведутся для

x > 0

Для кривой

xy^{2}=1

дифференцируем:

y^{2}+2xy\,y'=0\;\Rightarrow\;y'=-\dfrac{y}{2x}

(

x\neq0,\;y\neq0

T_{0}=\left|\dfrac{y}{-\dfrac{y}{2x}}\right|=| -2x|=2|x|.

Из уравнения

xy^{2}=1

видно, что

x

y^{2}

одного знака; так как

y^{2}>0

, то

x>0

. Значит,

|x|=x

T_{0}=2x.

N_{0}=|y\cdot\left(-\dfrac{y}{2x}\right)|=\left|\dfrac{y^{2}}{2x}\right|=\dfrac{y^{2}}{2x}.

С учётом

y^{2}=\dfrac{1}{x}

получаем

N_{0}=\dfrac{1/x}{2x}=\dfrac{1}{2x^{2}}