Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.22

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что в точках с равными абсциссами поднормали графиков функций

y = f(x)

y = \sqrt{f^2(x) + a^2}

(

f

— дифференцируемая функция) равны.

Доказано:

\text{поднормали равны}

Доказательство

Поднормаль кривой, заданной функцией

y(x)

, вычисляется по формуле

N = |y \cdot y'|

.
Для первого графика

y_1 = f(x)

непосредственно имеем

N_1 = |f(x)\,f'(x)|

Для второго графика

y_2 = \sqrt{f^2(x) + a^2}

найдём производную:

y_2' = \dfrac{1}{2\sqrt{f^2(x) + a^2}} \cdot 2f(x)f'(x) = \dfrac{f(x)f'(x)}{\sqrt{f^2(x) + a^2}}.

Тогда поднормаль

N_2 = \bigl|y_2 \cdot y_2'\bigr|= \sqrt{f^2(x) + a^2} \cdot \dfrac{|f(x)f'(x)|}{\sqrt{f^2(x) + a^2}}= |f(x)f'(x)|.

Сравнивая, получаем

N_1 = N_2

для любого

x

из области определения.

Что и требовалось доказать