Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.21

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что подкасательные эллипса

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

и окружности

x^2 + y^2 = a^2

в точках с равными абсциссами равны.

Доказано:

\text{подкасательные равны}

Доказательство

Для эллипса:

\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1

. Дифференцируем:

\dfrac{2x}{a^2} + \dfrac{2y}{b^2} y' = 0 \Rightarrow y' = -\dfrac{b^2 x}{a^2 y}

.

Подкасательная эллипса:

T_{e} = \left| \dfrac{y}{y'} \right| = \dfrac{a^2 y^2}{b^2 |x|}

Из уравнения эллипса

y^2 = b^2\left(1 - \dfrac{x^2}{a^2}\right)

, поэтому

T_{e} = \dfrac{a^2 - x^2}{|x|}

Для окружности:

x^2 + y^2 = a^2

y' = -\dfrac{x}{y}

.
Подкасательная окружности:

T_{o} = \left| \dfrac{y}{y'} \right| =\dfrac{y^2}{|x|} = \dfrac{a^2 - x^2}{|x|}

Проверка

Таким образом,

T_{e} = T_{o}

при одинаковом

x

Что и требовалось доказать