Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.20

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти длины подкасательной и поднормали:

1. параболы

y^2 = 2px

;
2. гиперболы

x^2 - y^2 = a^2

Ответ:

1)\ \text{подкасательная}\ 2|x|,\ \text{поднормаль}\ |p|;

2)\ \text{подкасательная}\ \dfrac{y^2}{|x|},\ \text{поднормаль}\ |x|

Решение

Для параболы

y^2 = 2px

дифференцируем:

2y y' = 2p \Rightarrow y' = \dfrac{p}{y}

.
Подкасательная

T_0 = \left| \dfrac{y}{y'} \right| = \dfrac{y^2}{|p|} = 2|x|

(при

p>0

).
Поднормаль

N_0 = |y y'| = |p|

Для гиперболы

x^2 - y^2 = a^2

дифференцируем:

2x - 2y y' = 0 \Rightarrow y' = \dfrac{x}{y}

.
Подкасательная

T_0 = \left| \dfrac{y}{y'} \right| = \dfrac{y^2}{|x|}

.
Поднормаль

N_0 = |y y'| = |x|