Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.2

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти точки, в которых касательные к графику функции

y = f(x)

параллельны оси абсцисс:
1)

y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 7

;
2)

y = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 - 1

;
3)

y = 3x^4 - 28x^3 - 6x^2 + 84x + 1

;
4)

y = \cos 2x - 5\cos x

;
5)

y = (3 - x^2)e^x

;
6)

y = \dfrac{(2 - x)^3}{(x - 3)^2}

;
7)

y = |x - 5|(x - 3)^3

;
8)

x = \dfrac{t^3}{1 + t^2},\; y = \dfrac{t^3 - 2t^2}{1 + t^2}

;
9)

x^2 + 2y^2 + 4x - 4y = 0,\; y > 1

Ответ:

1)\ (-1; 14),\ (2; -13);

2)\ (-2; -33),\ (0; -1),\ (1; -6);

3)\ (-1; -58),\ (1; 54),\ (7; -2106);

4)\ (\pi k;\ 1 - 5(-1)^k),\ k\in\mathbb{Z};

5)\ (-3; -6e^{-3}),\ (1; 2e);

6)\ (2; 0),\ \left(5; -\dfrac{27}{4}\right);

7)\ (3; 0),\ \left(\dfrac{9}{2}; \dfrac{27}{16}\right);

8)\ \left(\dfrac12; -\dfrac12\right);

9)\ (-2; 1 + \sqrt{3})

Решение

Находим производную:

y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1).

y' = 0 \;\Rightarrow\; x = -1,\; x = 2

y(-1) = 14,\quad y(2) = -13

.

Производная равна

y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x+2)(x-1).

Корни:

x = -2,\; 0,\; 1

y(-2) = -33,\; y(0) = -1,\; y(1) = -6

Здесь

y' = 12x^3 - 84x^2 - 12x + 84 = 12(x+1)(x-1)(x-7)

.
Нули производной:

x = -1,\; 1,\; 7

y(-1) = -58,\; y(1) = 54,\; y(7) = -2106

Дифференцируем тригонометрическую функцию:

y' = -2\sin 2x + 5\sin x = \sin x(5 - 4\cos x).

\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi k,\; k\in\mathbb{Z}

. Уравнение

5 - 4\cos x = 0

корней не имеет.

y(\pi k) = \cos(2\pi k) - 5\cos(\pi k) = 1 - 5(-1)^k

.

Производная произведения:

y' = e^x(3 - 2x - x^2) = -e^x(x+3)(x-1).

y' = 0 \;\Rightarrow\; x = -3,\; x = 1

y(-3) = -6e^{-3},\; y(1) = 2e

.

Рассматриваем дробь (область определения

x \neq 3

y' = -\dfrac{(2-x)^2(x-5)}{(x-3)^3}.

y' = 0 \;\Rightarrow\; (2-x)^2 = 0

или

x = 5

x = 2

y(2) = 0

x = 5

y(5) = -\dfrac{27}{4}

.

Раскрываем модуль по разные стороны от

x=5

.
При

x < 5

y = (5 - x)(x - 3)^3

y' = (x-3)^2(18 - 4x)

;
при

x > 5

y = (x-5)(x-3)^3

y' = (x-3)^2(4x - 18)

y' = 0

при

x = 3

(кратность) и

x = \dfrac{9}{2}

(из области

x < 5

).
В точке

x = 5

производная не существует.

y(3) = 0,\; y\!\left(\dfrac{9}{2}\right) = \dfrac{27}{16}

Параметрически заданная кривая:

\dot x = \dfrac{t^2(t^2+3)}{(1+t^2)^2},\quad \dot y = \dfrac{t(t-1)(t^2+t+4)}{(1+t^2)^2}.

\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(t-1)(t^2+t+4)}{t(t^2+3)}.

Производная равна нулю при

t = 1

(числитель нуль, знаменатель не нуль).
Точка:

x = \dfrac12,\; y = -\dfrac12

.

Неявно заданная кривая. Дифференцируем:

2x + 4y y' + 4 - 4y' = 0 \;\Rightarrow\; y' = -\dfrac{x+2}{2(y-1)}.

y' = 0 \;\Rightarrow\; x = -2

.
Подставляем в уравнение:

4 + 2y^2 - 8 - 4y = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 2y - 2 = 0

.
Корни:

y = 1 \pm \sqrt{3}

. По условию

y > 1

берём

y = 1 + \sqrt{3}