Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.19

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Найти длины подкасательной и поднормали графика функции

y = a x^n

(

n \in \mathbb{N}

a \neq 0

) в каждой его точке.

Ответ:

\text{подкасательная}\ \dfrac{|x|}{n},\ \text{поднормаль}\ n a^2 |x|^{2n-1}

Решение

y' = a n x^{n-1}

.
Подкасательная

T_0 = \left| \dfrac{y}{y'} \right| = \left| \dfrac{a x^n}{a n x^{n-1}} \right| = \dfrac{|x|}{n}

.
Поднормаль

N_0 = |y y'| = |a x^n \cdot a n x^{n-1}| = n a^2 |x|^{2n-1}