Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.18

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.18

Найти длину подкасательной графика функции y=axy = a^x (a>0, a≠1a>0,\ a\neq 1) в каждой его точке.
Ответ:1∣ln⁡a∣\dfrac{1}{|\ln a|}

Решение

y=axy = a^x, y′=axln⁡ay' = a^x \ln a.
Подкасательная T0=∣yy′∣=axax∣ln⁡a∣=1∣ln⁡a∣T_0 = \left| \dfrac{y}{y'} \right| = \dfrac{a^x}{a^x |\ln a|} = \dfrac{1}{|\ln a|}.
Для любого xx длина постоянна.
Кудрявцев № 14.18 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика