Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.17

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить в точке

(1;2)

параболы

y^2 = 4x

длины отрезков: касательной, нормали, подкасательной, поднормали.

Ответ:

\text{подкасательная}\ 2,\ \text{поднормаль}\ 2,\ \text{касательная}\ 2\sqrt{2},\ \text{нормаль}\ 2\sqrt{2}

Решение

Уравнение параболы:

y^2 = 4x

. Дифференцируем:

2y y' = 4 \Rightarrow y' = \dfrac{2}{y}

.
В точке

(1,2)

y' = \dfrac{2}{2} = 1

.

Длины определяются по формулам:
подкасательная

T_0 = \left| \dfrac{y_0}{y_0'} \right|

;
поднормаль

N_0 = |y_0 y_0'|

;
касательная

T = \left| \dfrac{y_0}{y_0'} \right| \sqrt{1 + (y_0')^2}

;
нормаль

N = |y_0| \sqrt{1 + (y_0')^2}

.

Подставляем

y_0 = 2

y_0' = 1

T_0 = 2

N_0 = 2

T = 2\sqrt{2}

N = 2\sqrt{2}