Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.14

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что семейства гипербол

x^2 - y^2 = a

xy = b

образуют ортогональную сетку.

Доказано:

\text{семейства ортогональны}

Доказательство

Для первой гиперболы

x^2 - y^2 = a

дифференцируем:

2x - 2y y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = \dfrac{x}{y} \quad (y \neq 0)

Для второй гиперболы

xy = b

дифференцируем:

y + x y' = 0 \quad \Rightarrow \quad y' = -\dfrac{y}{x} \quad (x \neq 0)

Проверка

В точке пересечения

(x_0, y_0)

выполняются оба уравнения:

x_0^2 - y_0^2 = a

x_0 y_0 = b

. Отсюда

x_0 \neq 0

y_0 \neq 0

.
Угловые коэффициенты касательных:

k_1 = \dfrac{x_0}{y_0},\quad k_2 = -\dfrac{y_0}{x_0}

.
Их произведение:

k_1 k_2 = \dfrac{x_0}{y_0} \cdot \left(-\dfrac{y_0}{x_0}\right) = -1

.
Таким образом, касательные перпендикулярны во всех точках пересечения, то есть сетка ортогональна.

Что и требовалось доказать