Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.13

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что семейства парабол

y^2 = p^2 - 2px

y^2 = 2qx + q^2

(

p \neq 0

q \neq 0

) образуют ортогональную сетку.

Доказано:

\text{семейства ортогональны}

Доказательство

Найдём угловые коэффициенты касательных к кривым каждого семейства.
Для первого семейства:

y^2 = p^2 - 2px

.
Дифференцируем по

x

2y y' = -2p \quad\Rightarrow \quad y' = -\dfrac{p}{y}

Для второго семейства:

y^2 = 2qx + q^2

.
Дифференцируем по

x

2y y' = 2q \quad\Rightarrow\quad y' = \dfrac{q}{y}

.

Пусть кривые пересекаются в точке

(x_0, y_0)

. Тогда в этой точке выполняются оба уравнения:

y_0^2 = p^2 - 2px_0 \quad\text{и}\quad y_0^2 = 2qx_0 + q^2

.
Приравниваем правые части:

p^2 - 2px_0 = 2qx_0 + q^2 \quad\Rightarrow\quad p^2 - q^2 = 2(p+q)x_0.

Если

p + q \neq 0

, то

x_0 = \dfrac{p^2 - q^2}{2(p+q)} = \dfrac{p - q}{2}

. Подставляя в любое уравнение, находим

y_0^2

y_0^2 = p^2 - 2p \cdot \dfrac{p - q}{2} = p^2 - p(p - q) = pq

. Итак,

y_0^2 = pq

(для существования точки пересечения нужно

pq > 0

, что гарантирует

y_0 \neq 0

). Если

p + q = 0

, то

q = -p

и уравнения совпадают, этот случай исключается.

Проверка

Угловые коэффициенты касательных в точке пересечения:

k_1 = -\dfrac{p}{y_0},\quad k_2 = \dfrac{q}{y_0}

.
Их произведение:

k_1 k_2 = \left(-\dfrac{p}{y_0}\right) \cdot \dfrac{q}{y_0} = -\dfrac{pq}{y_0^2}

.
Но

y_0^2 = pq

, поэтому

k_1 k_2 = -1

.
Следовательно, касательные в любой точке пересечения перпендикулярны, что означает ортогональность сетки.

Что и требовалось доказать