Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.11

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.11

Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики функций:

1) f1(x)=x−x3, f2(x)=5xf_1(x) = x - x^3,\ f_2(x) = 5x;
2) f1(x)=2sin⁡x, f2(x)=2cos⁡xf_1(x) = \sqrt{2}\sin x,\ f_2(x) = \sqrt{2}\cos x;

3) f1(x)=x2, f2(x)=x3f_1(x) = x^2,\ f_2(x) = x^3;
4) f1(x)=1/x, f2(x)=xf_1(x) = 1/x,\ f_2(x) = \sqrt{x};
5) f1(x)=x3, f2(x)=1/x2f_1(x) = x^3,\ f_2(x) = 1/x^2;

6) f1(x)=ln⁡x, f2(x)=x22ef_1(x) = \ln x,\ f_2(x) = \dfrac{x^2}{2e};
7) f1(x)=x2−4x+4, f2(x)=−x2+6x−4f_1(x) = x^2 - 4x + 4,\ f_2(x) = -x^2 + 6x - 4;

8) f1(x)=4x2+2x−8, f2(x)=x3−x+10f_1(x) = 4x^2 + 2x - 8,\ f_2(x) = x^3 - x + 10;
9) f1(x)=φ(x), f2(x)=φ(x)sin⁡πxf_1(x) = \varphi(x),\ f_2(x) = \varphi(x)\sin \pi x.
Ответ:1) (0;0), arctg⁡23; 2) (π4+πk;(−1)k), π2; 3) (0;0) — угол 0, (1;1) — arctg⁡17;  4) (1;1), arctg⁡3; 5) (1;1), π4; 6) (e;12), угол 0 (касание); 7) (1;1), (4;4), arctg⁡67;  8) (3;34) — 0, (−2;4) — arctg⁡25153; 9) x=12+2k (φ≠0) — 01)\ (0;0),\ \arctg\dfrac{2}{3};\ 2)\ \left(\dfrac{\pi}{4}+\pi k; (-1)^k\right),\ \dfrac{\pi}{2};\ 3)\ (0;0)\ \text{— угол } 0,\ (1;1)\ \text{— } \arctg\dfrac{1}{7};\ \ 4)\ (1;1),\ \arctg 3;\ 5)\ (1;1),\ \dfrac{\pi}{4};\ 6)\ (\sqrt{e}; \dfrac12),\ \text{угол } 0\ \text{(касание)};\ 7)\ (1;1),\ (4;4),\ \arctg\dfrac{6}{7};\ \ 8)\ (3;34)\ \text{— } 0,\ (-2;4)\ \text{— } \arctg\dfrac{25}{153};\ 9)\ x = \dfrac12 + 2k\ (\varphi \neq 0)\ \text{— } 0

Решение

Уравнение x−x3=5x  ⇒  x3+4x=0  ⇒  x(x2+4)=0  ⇒  x=0x - x^3 = 5x \;\Rightarrow\; x^3 + 4x = 0 \;\Rightarrow\; x(x^2+4)=0 \;\Rightarrow\; x=0. Точка пересечения (0;0)(0;0).
f1′(x)=1−3x2  ⇒  f1′(0)=1f_1'(x) = 1 - 3x^2 \;\Rightarrow\; f_1'(0)=1, f2′(x)=5f_2'(x)=5.
Угол φ\varphi между кривыми:
tg⁡φ=∣5−11+5⋅1∣=23  ⇒  φ=arctg⁡23\tg\varphi = \left|\dfrac{5-1}{1+5\cdot1}\right| = \dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \varphi = \arctg\dfrac{2}{3}.
2sin⁡x=2cos⁡x  ⇒  tg⁡x=1  ⇒  x=π4+πk\sqrt{2}\sin x = \sqrt{2}\cos x \;\Rightarrow\; \tg x = 1 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k. Точки: (π4+πk;(−1)k)\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi k; (-1)^k\right).
f1′(x)=2cos⁡x,f2′(x)=−2sin⁡xf_1'(x) = \sqrt{2}\cos x,\quad f_2'(x) = -\sqrt{2}\sin x.
В точках пересечения ∣sin⁡x∣=∣cos⁡x∣=22|\sin x| = |\cos x| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, значит ∣f1′∣=∣f2′∣=1|f_1'| = |f_2'| = 1, а знаки производных противоположны.
Тангенс угла: tg⁡φ=∣−1−11+(−1)⋅1∣=20→∞  ⇒  φ=π2\tg\varphi = \left|\dfrac{-1 - 1}{1 + (-1)\cdot1}\right| = \dfrac{2}{0} \to \infty \;\Rightarrow\; \varphi = \dfrac{\pi}{2}.
x2=x3  ⇒  x2(1−x)=0  ⇒  x=0,  x=1x^2 = x^3 \;\Rightarrow\; x^2(1-x)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=1. Точки: (0;0)(0;0) и (1;1)(1;1).
f1′(x)=2x,  f2′(x)=3x2f_1'(x) = 2x,\; f_2'(x) = 3x^2.
В (0;0)(0;0): f1′(0)=0,  f2′(0)=0f_1'(0)=0,\; f_2'(0)=0. Обе касательные горизонтальны, кривые касаются, угол 00.
В (1;1)(1;1): f1′(1)=2,  f2′(1)=3f_1'(1)=2,\; f_2'(1)=3.
tg⁡φ=∣3−21+2⋅3∣=17  ⇒  φ=arctg⁡17\tg\varphi = \left|\dfrac{3-2}{1+2\cdot3}\right| = \dfrac{1}{7} \;\Rightarrow\; \varphi = \arctg\dfrac{1}{7}.
1x=x  ⇒  1=xx=x3/2  ⇒  x=1\dfrac{1}{x} = \sqrt{x} \;\Rightarrow\; 1 = x\sqrt{x} = x^{3/2} \;\Rightarrow\; x=1. Точка (1;1)(1;1).
f1′(x)=−1x2  ⇒  f1′(1)=−1f_1'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; f_1'(1) = -1,
f2′(x)=12x  ⇒  f2′(1)=12f_2'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \;\Rightarrow\; f_2'(1) = \dfrac12.
tg⁡φ=∣1/2−(−1)1+(−1)⋅1/2∣=3/21/2=3  ⇒  φ=arctg⁡3\tg\varphi = \left|\dfrac{1/2 - (-1)}{1 + (-1)\cdot1/2}\right| = \dfrac{3/2}{1/2} = 3 \;\Rightarrow\; \varphi = \arctg 3.
x3=1x2  ⇒  x5=1  ⇒  x=1x^3 = \dfrac{1}{x^2} \;\Rightarrow\; x^5 = 1 \;\Rightarrow\; x=1. Точка (1;1)(1;1).
f1′(x)=3x2  ⇒  f1′(1)=3f_1'(x) = 3x^2 \;\Rightarrow\; f_1'(1) = 3,
f2′(x)=−2x3  ⇒  f2′(1)=−2f_2'(x) = -\dfrac{2}{x^3} \;\Rightarrow\; f_2'(1) = -2.
tg⁡φ=∣−2−31+(−2)⋅3∣=55=1  ⇒  φ=π4\tg\varphi = \left|\dfrac{-2 - 3}{1 + (-2)\cdot3}\right| = \dfrac{5}{5} = 1 \;\Rightarrow\; \varphi = \dfrac{\pi}{4}.
Решаем уравнение ln⁡x=x22e\ln x = \dfrac{x^2}{2e}. Рассмотрим функцию g(x)=ln⁡x−x22eg(x) = \ln x - \dfrac{x^2}{2e} при x>0x>0.g′(x)=1x−xe=e−x2ex.g'(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{e} = \dfrac{e - x^2}{ex}.g′(x)=0g'(x) = 0 при x=ex = \sqrt{e}.
При x∈(0;e)x \in (0; \sqrt{e}) g′(x)>0g'(x) > 0 (функция возрастает);
при x∈(e;+∞)x \in (\sqrt{e}; +\infty) g′(x)<0g'(x) < 0 (убывает).
Значит, x=ex = \sqrt{e} — точка максимума.g(e)=ln⁡e−(e)22e=12−e2e=0.g(\sqrt{e}) = \ln\sqrt{e} - \dfrac{(\sqrt{e})^2}{2e} = \dfrac12 - \dfrac{e}{2e} = 0.Так как максимум равен нулю, а в остальных точках функция строго меньше нуля, уравнение g(x)=0g(x)=0 имеет единственное решение x=ex = \sqrt{e} (кратности 2).
Точка пересечения: (e;12)(\sqrt{e}; \dfrac12).
Вычислим производные в этой точке:
f1′(e)=1ef_1'(\sqrt{e}) = \dfrac{1}{\sqrt{e}},
f2′(e)=2e2e=1ef_2'(\sqrt{e}) = \dfrac{2\sqrt{e}}{2e} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}.
Производные равны, следовательно, кривые касаются. Угол φ=0\varphi = 0.
x2−4x+4=−x2+6x−4  ⇒  2x2−10x+8=0  ⇒  x2−5x+4=0x^2 - 4x + 4 = -x^2 + 6x - 4 \;\Rightarrow\; 2x^2 - 10x + 8 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 5x + 4 = 0.
Корни: x=1,  x=4x=1,\; x=4. Точки (1;1)(1;1) и (4;4)(4;4).
f1′(x)=2x−4,f2′(x)=−2x+6f_1'(x) = 2x - 4,\qquad f_2'(x) = -2x + 6.
В (1;1)(1;1): f1′(1)=−2,  f2′(1)=4f_1'(1) = -2,\; f_2'(1) = 4.
tg⁡φ=∣4−(−2)1+(−2)⋅4∣=67  ⇒  φ=arctg⁡67\tg\varphi = \left|\dfrac{4 - (-2)}{1 + (-2)\cdot4}\right| = \dfrac{6}{7} \;\Rightarrow\; \varphi = \arctg\dfrac{6}{7}.
В (4;4)(4;4): f1′(4)=4,  f2′(4)=−2f_1'(4) = 4,\; f_2'(4) = -2, тангенс тот же.
4x2+2x−8=x3−x+10  ⇒  x3−4x2−3x+18=04x^2 + 2x - 8 = x^3 - x + 10 \;\Rightarrow\; x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = 0.
Разложим на множители: x3−4x2−3x+18=(x−3)2(x+2)x^3 - 4x^2 - 3x + 18 = (x-3)^2(x+2).
Корни: x=3x=3 (кратность 2), x=−2x=-2. Точки: (3;34)(3;34) и (−2;4)(-2;4).
f1′(x)=8x+2,f2′(x)=3x2−1f_1'(x) = 8x + 2,\qquad f_2'(x) = 3x^2 - 1.
В (3;34)(3;34): f1′(3)=26,  f2′(3)=26f_1'(3) = 26,\; f_2'(3) = 26. Производные равны — кривые касаются, угол 00.
В (−2;4)(-2;4): f1′(−2)=−14,  f2′(−2)=11f_1'(-2) = -14,\; f_2'(-2) = 11.
tg⁡φ=∣11−(−14)1+(−14)⋅11∣=25153  ⇒   φ=arctg⁡25153\tg\varphi = \left|\dfrac{11 - (-14)}{1 + (-14)\cdot11}\right| = \dfrac{25}{153} \;\Rightarrow\; \ \varphi = \arctg\dfrac{25}{153}.
Уравнение φ(x)=φ(x)sin⁡πx\varphi(x) = \varphi(x)\sin\pi x.
Если φ(x)≠0\varphi(x) \neq 0, то sin⁡πx=1\sin\pi x = 1, откуда x=12+2k,  k∈Zx = \dfrac12 + 2k,\; k\in\mathbb{Z}.
В этих точках:
f1′(x)=φ′(x)f_1'(x) = \varphi'(x),
f2′(x)=φ′(x)sin⁡πx+φ(x)πcos⁡πx=φ′(x)⋅1+φ(x)π⋅0=φ′(x)f_2'(x) = \varphi'(x)\sin\pi x + \varphi(x)\pi\cos\pi x = \varphi'(x)\cdot 1 + \varphi(x)\pi\cdot 0 = \varphi'(x).
Производные совпадают, кривые касаются (угол 00).
Если φ(x)=0\varphi(x) = 0, то любое такое xx является точкой пересечения. Угол в таких точках зависит от конкретного вида φ\varphi и в общем случае не определяется.
Кудрявцев № 14.11 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика