Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.10

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.10

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке MM:

1) x3+y2+2x−6=0, M(−1;3)x^3 + y^2 + 2x - 6 = 0,\ M(-1; 3);
2) 4x3−3xy2+6x2−5xy−8y2+9x+14=0, M(−2;3)4x^3 - 3xy^2 + 6x^2 - 5xy - 8y^2 + 9x + 14 = 0,\ M(-2; 3);
3) y4−4x4−6xy=0, M(1;2)y^4 - 4x^4 - 6xy = 0,\ M(1; 2);
4) x5+y5−2xy=0, M(1;1)x^5 + y^5 - 2xy = 0,\ M(1; 1);

5) (4−x)y2=x3, M(x0;y0)(4 - x)y^2 = x^3,\ M(x_0; y_0);
6) (xa)n+(yb)n=2, n∈N, M(a;b)\left(\dfrac{x}{a}\right)^n + \left(\dfrac{y}{b}\right)^n = 2,\ n \in \mathbb{N},\ M(a; b);
7) x=t2,  y=t3, M(4;8)x = t^2,\ \ y = t^3,\ M(4; 8);
8) x=tcos⁡t, y=tsin⁡t, M(π28;π28)x = t\cos t,\ y = t\sin t,\ M\left(\dfrac{\pi\sqrt{2}}{8}; \dfrac{\pi\sqrt{2}}{8}\right);
9) x=2cos⁡3t, y=2sin⁡3t, M(12;12)x = \sqrt{2}\cos^3 t,\ y = \sqrt{2}\sin^3 t,\ M\left(\dfrac12; \dfrac12\right);
10) x=1+tt3, y=32t2+12t, M(2;2)x = \dfrac{1+t}{t^3},\ y = \dfrac{3}{2t^2} + \dfrac{1}{2t},\ M(2; 2);
11) x=2t−1t2, y=3t2−1t3, M(1;2)x = \dfrac{2t - 1}{t^2},\ y = \dfrac{3t^2 - 1}{t^3},\ M(1; 2).
Ответ:1) 5x+6y−13=0, 6x−5y+21=0;1)\ 5x + 6y - 13 = 0,\ 6x - 5y + 21 = 0;
2) 9x+2y+12=0, 2x−9y+31=0;2)\ 9x + 2y + 12 = 0,\ 2x - 9y + 31 = 0;
3) 14x−13y+12=0, 13x+14y−41=0;3)\ 14x - 13y + 12 = 0,\ 13x + 14y - 41 = 0;
4) x+y−2=0, x−y=0;4)\ x + y - 2 = 0,\ x - y = 0;
5) y−y0=x02(6−x0)y0(4−x0)2(x−x0), y−y0=−y0(4−x0)2x02(6−x0)(x−x0);5)\ y - y_0 = \dfrac{x_0^2(6 - x_0)}{y_0(4 - x_0)^2}(x - x_0),\ y - y_0 = -\dfrac{y_0(4 - x_0)^2}{x_0^2(6 - x_0)}(x - x_0);
6) xa+yb=2, ax−by=a2−b2;6)\ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 2,\ ax - by = a^2 - b^2;
7) 3x−y−4=0, x+3y−28=0;7)\ 3x - y - 4 = 0,\ x + 3y - 28 = 0;
8) (π+4)x+(π−4)y−π224=0,  (π−4)x−(π+4)y+π2=0;8)\ (\pi+4)x + (\pi-4)y - \dfrac{\pi^2\sqrt{2}}{4} = 0,\ \ (\pi-4)x - (\pi+4)y + \pi\sqrt{2} = 0;
9) x+y−1=0, x−y=0;9)\ x + y - 1 = 0,\ x - y = 0;
10) 7x−10y+6=0,  10x+7y−34=0;10)\ 7x - 10y + 6 = 0,\ \ 10x + 7y - 34 = 0;
11) 3x−y−1=0, x+3y−7=011)\ 3x - y - 1 = 0,\ x + 3y - 7 = 0

Решение

Производная: 3x2+2yy′+2=0  ⇒  y′=−3x2−22y3x^2 + 2y y' + 2 = 0 \;\Rightarrow\; y' = \dfrac{-3x^2 - 2}{2y}.
y′(−1;3)=−56y'(-1;3) = -\dfrac{5}{6}.
Касательная: y−3=−56(x+1)  ⇒  5x+6y−13=0y - 3 = -\dfrac{5}{6}(x + 1) \;\Rightarrow\; 5x + 6y - 13 = 0.
Нормаль: y−3=65(x+1)  ⇒  6x−5y+21=0y - 3 = \dfrac{6}{5}(x + 1) \;\Rightarrow\; 6x - 5y + 21 = 0.
Дифференцируем: 12x2−3y2−6xyy′+12x−5y−5xy′−16yy′+9=012x^2 - 3y^2 - 6xyy' + 12x - 5y - 5xy' - 16yy' + 9 = 0.
Группируем y′y': y′(−6xy−5x−16y)+(12x2−3y2+12x−5y+9)=0y'(-6xy - 5x - 16y) + (12x^2 - 3y^2 + 12x - 5y + 9) = 0.
При x=−2, y=3x=-2,\ y=3 коэффициент при y′y' равен −2-2, свободный член −9-9. Отсюда y′=−92y' = -\dfrac{9}{2}.
Касательная: y−3=−92(x+2)  ⇒  9x+2y+12=0y - 3 = -\dfrac{9}{2}(x + 2) \;\Rightarrow\; 9x + 2y + 12 = 0.
Нормаль: y−3=29(x+2)  ⇒  2x−9y+31=0y - 3 = \dfrac{2}{9}(x + 2) \;\Rightarrow\; 2x - 9y + 31 = 0.
Дифференцируем: 4y3y′−16x3−6y−6xy′=04y^3y' - 16x^3 - 6y - 6xy' = 0.
y′(4y3−6x)=16x3+6yy'(4y^3 - 6x) = 16x^3 + 6y.
При x=1, y=2x=1,\ y=2: 4⋅8−6=26, 16+12=28  ⇒  y′=14134\cdot8 - 6 = 26,\ 16 + 12 = 28 \;\Rightarrow\; y' = \dfrac{14}{13}.
Касательная: y−2=1413(x−1)  ⇒  14x−13y+12=0y - 2 = \dfrac{14}{13}(x - 1) \;\Rightarrow\; 14x - 13y + 12 = 0.
Нормаль: y−2=−1314(x−1)  ⇒  13x+14y−41=0y - 2 = -\dfrac{13}{14}(x - 1) \;\Rightarrow\; 13x + 14y - 41 = 0.
Дифференцируем: 5x4+5y4y′−2y−2xy′=05x^4 + 5y^4y' - 2y - 2xy' = 0.
y′(5y4−2x)=2y−5x4y'(5y^4 - 2x) = 2y - 5x^4.
При x=1, y=1x=1,\ y=1: 5−2=3, 2−5=−3  ⇒  y′=−15 - 2 = 3,\ 2 - 5 = -3 \;\Rightarrow\; y' = -1.
Касательная: y−1=−1(x−1)  ⇒  x+y−2=0y - 1 = -1(x - 1) \;\Rightarrow\; x + y - 2 = 0.
Нормаль: y−1=1(x−1)  ⇒  x−y=0y - 1 = 1(x - 1) \;\Rightarrow\; x - y = 0.
Дифференцируем: −y2+2y(4−x)y′=3x2-y^2 + 2y(4 - x)y' = 3x^2. Выражаем y′=3x2+y22y(4−x)y' = \dfrac{3x^2 + y^2}{2y(4 - x)}.
С помощью уравнения кривой y2=x34−xy^2 = \dfrac{x^3}{4 - x} упрощаем числитель:
3x2+y2=3x2+x34−x=12x2−2x34−x=2x2(6−x)4−x3x^2 + y^2 = 3x^2 + \dfrac{x^3}{4 - x} = \dfrac{12x^2 - 2x^3}{4 - x} = \dfrac{2x^2(6 - x)}{4 - x}.
Тогда y′=x2(6−x)y(4−x)2y' = \dfrac{x^2(6 - x)}{y(4 - x)^2}.
Касательная: y−y0=x02(6−x0)y0(4−x0)2(x−x0)y - y_0 = \dfrac{x_0^2(6 - x_0)}{y_0(4 - x_0)^2}(x - x_0).
Нормаль: y−y0=−y0(4−x0)2x02(6−x0)(x−x0)y - y_0 = -\dfrac{y_0(4 - x_0)^2}{x_0^2(6 - x_0)}(x - x_0).
Дифференцируем: n(xa)n−11a+n(yb)n−11by′=0n\left(\dfrac{x}{a}\right)^{n-1}\dfrac{1}{a} + n\left(\dfrac{y}{b}\right)^{n-1}\dfrac{1}{b}y' = 0.
При x=a, y=bx=a,\ y=b: na+nby′=0  ⇒  y′=−ba\dfrac{n}{a} + \dfrac{n}{b}y' = 0 \;\Rightarrow\; y' = -\dfrac{b}{a}.
Касательная: y−b=−ba(x−a)  ⇒  xa+yb=2y - b = -\dfrac{b}{a}(x - a) \;\Rightarrow\; \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 2.
Нормаль: y−b=ab(x−a)  ⇒  ax−by=a2−b2y - b = \dfrac{a}{b}(x - a) \;\Rightarrow\; ax - by = a^2 - b^2.
Параметр t=2t = 2. x˙=2t, y˙=3t2\dot x = 2t,\ \dot y = 3t^2. При t=2t=2: x˙=4, y˙=12\dot x = 4,\ \dot y = 12, dydx=3\dfrac{dy}{dx} = 3.
Касательная: y−−8=3(x−4)  ⇒  3x−y−4=0y - -8 = 3(x - 4) \;\Rightarrow\; 3x - y - 4 = 0.
Нормаль: y−8=−13(x−4)  ⇒  x+3y−28=0y - 8 = -\dfrac{1}{3}(x - 4) \;\Rightarrow\; x + 3y - 28 = 0.

Из x=yx=y следует t=π4t = \dfrac{\pi}{4}.
x˙=cos⁡t−tsin⁡t, y˙=sin⁡t+tcos⁡t\dot x = \cos t - t\sin t,\ \dot y = \sin t + t\cos t.
При t=π/4t=\pi/4: x˙=22(1−π4), y˙=22(1+π4)\dot x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1 - \dfrac{\pi}{4}\right),\ \dot y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(1 + \dfrac{\pi}{4}\right).
dydx=1+π/41−π/4=4+π4−π\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 + \pi/4}{1 - \pi/4} = \dfrac{4 + \pi}{4 - \pi}.
Касательная: y−y0=4+π4−π(x−x0)  ⇒  (π+4)x+(π−4)y−π224=0y - y_0 = \dfrac{4 + \pi}{4 - \pi}(x - x_0)\;\Rightarrow\;(\pi+4)x + (\pi-4)y - \dfrac{\pi^2\sqrt{2}}{4} = 0.
Нормаль: y−y0=−4−π4+π(x−x0)  ⇒  (π−4)x−(π+4)y+π2=0y - y_0 = -\dfrac{4 - \pi}{4 + \pi}(x - x_0)\;\Rightarrow\;(\pi-4)x - (\pi+4)y + \pi\sqrt{2} = 0.

Из x=yx=y и положительности координат cos⁡t=sin⁡t  ⇒  t=π4\cos t = \sin t \;\Rightarrow\; t = \dfrac{\pi}{4}.
x˙=−32cos⁡2tsin⁡t, y˙=32sin⁡2tcos⁡t\dot x = -3\sqrt{2}\cos^2 t \sin t,\ \dot y = 3\sqrt{2}\sin^2 t \cos t.
При t=π/4t=\pi/4: x˙=−32, y˙=32\dot x = -\dfrac{3}{2},\ \dot y = \dfrac{3}{2}, dydx=−1\dfrac{dy}{dx} = -1.
Касательная: y−12=−1 ⁣(x−12)  ⇒  x+y−1=0y -\dfrac12 = -1\!\left(x - \dfrac12\right) \;\Rightarrow\; x + y - 1 = 0.
Нормаль: y−12=1 ⁣(x−12)  ⇒  x−y=0y - \dfrac12 = 1\!\left(x - \dfrac12\right) \;\Rightarrow\; x - y = 0.

Из x=2, y=2x=2,\ y=2 находим t=1t=1.
x˙=−2t+3t4, y˙=−3t3−12t2\dot x = -\dfrac{2t+3}{t^4},\ \dot y = -\dfrac{3}{t^3} - \dfrac{1}{2t^2}.
При t=1t=1: x˙=−5, y˙=−72\dot x = -5,\ \dot y = -\dfrac{7}{2}, dydx=710\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7}{10}.
Касательная: y−2=710(x−2)  ⇒  7x−10y+6=0y - 2 = \dfrac{7}{10}(x - 2) \;\Rightarrow\; 7x - 10y + 6 = 0.
Нормаль: y−2=−107(x−2)  ⇒  10x+7y−34=0y - 2 = -\dfrac{10}{7}(x - 2) \;\Rightarrow\; 10x + 7y - 34 = 0.

Из x=1, y=2x=1,\ y=2 находим t=1t=1.
x˙=2(1−t)t3, y˙=3(1−t2)t4\dot x = \dfrac{2(1-t)}{t^3},\ \dot y = \dfrac{3(1-t^2)}{t^4}.
При t→1t \to 1 предел отношения производных даёт lim⁡t→1y˙x˙=lim⁡t→13(1+t)2t=3\lim_{t\to 1}\dfrac{\dot y}{\dot x} = \lim_{t\to 1}\dfrac{3(1+t)}{2t} = 3.
Касательная: y−2=3(x−1)  ⇒  3x−y−1=0y - 2 = 3(x - 1) \;\Rightarrow\; 3x - y - 1 = 0.
Нормаль: y−2=−13(x−1)  ⇒  x+3y−7=0y - 2 = -\dfrac{1}{3}(x - 1) \;\Rightarrow\; x + 3y - 7 = 0.
Кудрявцев № 14.10 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика