Раздел III. Производная и дифференциал — § 14. Геометрический и физический смысл производной

Кудрявцев — задача 14.1

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 14.1

Найти углы, под которыми график функции y=f(x)y = f(x) пересекает ось абсцисс:
1) y=sin⁡3xy = \sin 3x;
2) y=tg⁡xy = \tg x;
3) y=ln⁡∣x∣y = \ln |x|;
4) y=1−exy = 1 - e^x;
5) y=arctg⁡(αx), α>0y = \arctg (\alpha x),\ \alpha > 0;
6) y=(x−1)3(x−2)2(x−3)y = (x - 1)^3 (x - 2)^2 (x - 3);
7) y=(x−1)(x+2)(x+1)(x−2)y = \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x - 2)};
8) x=(t−1)2(t−2),  y=(t−1)2(t−3),  2<t<+∞x = (t - 1)^2 (t - 2),\; y = (t - 1)^2 (t - 3),\; 2 < t < +\infty;
9) x=3att3+1,  y=3at2t3+1,  −1<t<12x = \dfrac{3at}{t^3 + 1},\; y = \dfrac{3at^2}{t^3 + 1},\; -1 < t < \dfrac12;
10) x2+y2+2y−9=0,  y>−1x^2 + y^2 + 2y - 9 =0,\; y > -1.
Ответ:1) для x=2πm3x = \dfrac{2\pi m}{3} угол arctg⁡3\arctg 3; для x=π(2m+1)3x = \dfrac{\pi(2m+1)}{3} угол π−arctg⁡3\pi - \arctg 3;
2) π4\dfrac{\pi}{4};

3) для x=1x=1 угол π4\dfrac{\pi}{4}, для x=−1x=-1 угол 3π4\dfrac{3\pi}{4};
4) 3π4\dfrac{3\pi}{4};
5) arctg⁡α\arctg \alpha;
6) в точках x=1,2x=1,2 угол 00, в x=3x=3 угол arctg⁡8\arctg 8;
7) для x=1x=1 угол π−arctg⁡32\pi - \arctg\dfrac{3}{2}, для x=−2x=-2 угол π−arctg⁡34\pi - \arctg\dfrac{3}{4};

8) arctg⁡12\arctg\dfrac12;
9) 00;
10) для (3;0)(3;0) угол π−arctg⁡3\pi - \arctg 3, для (−3;0)(-3;0) угол arctg⁡3\arctg 3.

Решение

Угол пересечения α\alpha определяется как угол между положительным направлением касательной (в сторону возрастания xx) и положительным направлением оси OxOx. Его тангенс равен f′(x0)f'(x_0), где x0x_0 — точка пересечения. Если f′(x0)>0f'(x_0) > 0, α=arctg⁡f′(x0)\alpha = \arctg f'(x_0); если f′(x0)<0f'(x_0) < 0, α=π+arctg⁡f′(x0)=π−arctg⁡∣f′(x0)∣\alpha = \pi + \arctg f'(x_0) = \pi - \arctg|f'(x_0)|; если f′(x0)=0f'(x_0) = 0, α=0\alpha = 0; если производная бесконечна, α=π2\alpha = \dfrac{\pi}{2}.

Для y=sin⁡3xy = \sin 3x находим нули: sin⁡3x=0  ⇒  3x=πk  ⇒  xk=πk3,  k∈Z\sin 3x = 0 \;\Rightarrow\; 3x = \pi k \;\Rightarrow\; x_k = \dfrac{\pi k}{3},\; k\in\mathbb{Z}.
y′=3cos⁡3xy' = 3\cos 3x.
При xk=2πm3x_k = \dfrac{2\pi m}{3} (kk чётное): y′=3cos⁡(2πm)=3>0y' = 3\cos(2\pi m) = 3 > 0, α=arctg⁡3\alpha = \arctg 3.
При xk=π(2m+1)3x_k = \dfrac{\pi(2m+1)}{3} (kk нечётное): y′=3cos⁡(π(2m+1))=−3<0y' = 3\cos(\pi(2m+1)) = -3 < 0, α=π−arctg⁡3\alpha = \pi - \arctg 3.

Для y=tg⁡xy = \tg x нули: tg⁡x=0  ⇒  xk=πk,  k∈Z\tg x = 0 \;\Rightarrow\; x_k = \pi k,\; k\in\mathbb{Z}.
y′=1cos⁡2x=1y' = \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 при xkx_k, поэтому y′=1>0y' = 1 > 0, α=arctg⁡1=π4\alpha = \arctg 1 = \dfrac{\pi}{4} для всех точек.

Для y=ln⁡∣x∣y = \ln |x| нули: ln⁡∣x∣=0  ⇒  x1=1,  x2=−1\ln|x| = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 1,\; x_2 = -1.
y′=1xy' = \dfrac{1}{x}.
При x=1x = 1: y′=1y' = 1, α=arctg⁡1=π4\alpha = \arctg 1 = \dfrac{\pi}{4}.
При x=−1x = -1: y′=−1y' = -1, α=π−arctg⁡1=3π4\alpha = \pi - \arctg 1 = \dfrac{3\pi}{4}.

Для y=1−exy = 1 - e^x нуль: x=0x = 0.
y′=−exy' = -e^x, y′(0)=−1<0y'(0) = -1 < 0, α=π−arctg⁡1=3π4\alpha = \pi - \arctg 1 = \dfrac{3\pi}{4}.

Для y=arctg⁡(αx)y = \arctg(\alpha x) нуль: x=0x = 0.
y′=α1+α2x2y' = \dfrac{\alpha}{1 + \alpha^2 x^2}, y′(0)=α>0y'(0) = \alpha > 0, α=arctg⁡α\alpha = \arctg \alpha.

Для y=(x−1)3(x−2)2(x−3)y = (x - 1)^3 (x - 2)^2 (x - 3) нули: x=1,2,3x = 1, 2, 3.
Производная содержит множители (x−1)2(x-1)^2 и (x−2)(x-2), поэтому y′(1)=0y'(1)=0, y′(2)=0y'(2)=0 — касательные горизонтальны, α=0\alpha = 0.
При x=3x = 3: y′(3)=(3−1)3(3−2)2=8>0y'(3) = (3-1)^3(3-2)^2 = 8 > 0, α=arctg⁡8\alpha = \arctg 8.

Для y=(x−1)(x+2)(x+1)(x−2)y = \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-2)} нули: x=1,−2x = 1, -2.
Вычислим производную:
y′=(2x+1)(x2−x−2)−(x2+x−2)(2x−1)(x2−x−2)2y' = \dfrac{(2x+1)(x^2 - x - 2) - (x^2 + x - 2)(2x-1)}{(x^2 - x - 2)^2}.
При x=1x = 1: y′(1)=−32<0y'(1) = -\dfrac{3}{2} < 0, α=π−arctg⁡32\alpha = \pi - \arctg\dfrac{3}{2}.
При x=−2x = -2: y′(−2)=−34<0y'(-2) = -\dfrac{3}{4} < 0, α=π−arctg⁡34\alpha = \pi - \arctg\dfrac{3}{4}.
Параметрически: x=(t−1)2(t−2),  y=(t−1)2(t−3),  t>2x = (t - 1)^2 (t - 2),\; y = (t - 1)^2 (t - 3),\; t > 2. Нуль yy: t=3t = 3. При t=3t=3: x=4,y=0x = 4, y = 0.
x′(t)=(t−1)(3t−5)x'(t) = (t-1)(3t-5), y′(t)=(t−1)(3t−7)y'(t) = (t-1)(3t-7).
x′(3)=8x'(3) = 8, y′(3)=4y'(3) = 4, yx′=48=12>0y'_x = \dfrac{4}{8} = \dfrac12 > 0, α=arctg⁡12\alpha = \arctg\dfrac12.
Параметрически: x=3att3+1,  y=3at2t3+1,  −1<t<12x = \dfrac{3at}{t^3+1},\; y = \dfrac{3at^2}{t^3+1},\; -1 < t < \dfrac12. Нуль yy: t=0t = 0. При t=0t=0: x=0,y=0x = 0, y = 0.
x′(t)=3a1−2t3(t3+1)2x'(t) = 3a\dfrac{1-2t^3}{(t^3+1)^2}, y′(t)=3a2t−t4(t3+1)2y'(t) = 3a\dfrac{2t - t^4}{(t^3+1)^2}.
x′(0)=3ax'(0) = 3a, y′(0)=0y'(0) = 0, yx′=0y'_x = 0, касательная горизонтальна, α=0\alpha = 0.

Для x2+y2+2y−9=0,  y>−1x^2 + y^2 + 2y - 9 = 0,\; y > -1 пересечение с OxOx: y=0y=0 даёт x=3,−3x = 3, -3.
Дифференцируем неявно: 2x+2yy′+2y′=0  ⇒  y′=−xy+12x + 2y y' + 2y' = 0 \;\Rightarrow\; y' = -\dfrac{x}{y+1}.
В точке (3;0)(3;0): y′=−3y' = -3, α=π−arctg⁡3\alpha = \pi - \arctg 3.
В точке (−3;0)(-3;0): y′=3y' = 3, α=arctg⁡3\alpha = \arctg 3.
Кудрявцев № 14.1 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика