Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.8

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}},\ x>0

Решение

Перепишем в виде степеней:

x^{1/2}+x^{1/3}+x^{1/4}

.
Производные степеней:

\dfrac{1}{2} x^{-1/2}

\dfrac{1}{3} x^{-2/3}

\dfrac{1}{4} x^{-3/4}

y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}.

Область существования:

x>0