Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.7

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{a}{x^2} + \dfrac{b}{x^3} + \dfrac{c}{x^4}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = -\dfrac{2a}{x^3} - \dfrac{3b}{x^4} - \dfrac{4c}{x^5},\ x\neq 0

Решение

Перепишем с отрицательными степенями:

y = a x^{-2} + b x^{-3} + c x^{-4}

. Дифференцируем:

(a x^{-2})' = -2a x^{-3}

(b x^{-3})' = -3b x^{-4}

(c x^{-4})' = -4c x^{-5}

. Возвращаясь к дробной записи, получаем

y' = -\dfrac{2a}{x^3} - \dfrac{3b}{x^4} - \dfrac{4c}{x^5}

. Область существования:

x\neq 0