Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.48

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \log_2 x \cdot \ln 2x

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(1) = 1

Решение

Выразим

\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}

. Тогда

y = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \cdot (\ln 2 + \ln x) = \dfrac{\ln x \ln 2 + (\ln x)^2}{\ln 2}.

Дифференцируем:

y' = \dfrac{1}{\ln 2} \left( \dfrac{\ln 2}{x} + 2\ln x \cdot \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2\ln x}{x\ln 2}.

Подставляем

x_0 = 1

\ln 1 = 0

\dfrac{1}{1}=1

. Тогда

y'(1) = 1 + 0 = 1