Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.47

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \arctg x \cdot \arccos x

x_0 = 0

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(0) = \dfrac{\pi}{2}

Решение

Производная произведения:

y' = \dfrac{1}{1+x^2} \arccos x + \arctg x \cdot \left( -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right).

Подставляем

x_0 = 0

\arctg 0 = 0

\arccos 0 = \dfrac{\pi}{2}

\dfrac{1}{1+0} = 1

-\dfrac{1}{\sqrt{1-0}} = -1

.
Второе слагаемое обнуляется:

y'(0) = 1 \cdot \dfrac{\pi}{2} + 0 = \dfrac{\pi}{2}.