Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.45

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{\sin x - x\cos x}{\cos x + x\sin x}

x_0 = \dfrac{\pi}{2}

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(\pi/2) = 1

Решение

Обозначим

u = \sin x - x\cos x

v = \cos x + x\sin x

. Вычислим производные:

u' = \cos x - (\cos x - x\sin x) = x\sin x

v' = -\sin x + \sin x + x\cos x = x\cos x

.

Производная частного:

y' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

.

Подставляем

x_0 = \pi/2

\sin(\pi/2)=1,\; \cos(\pi/2)=0

. Тогда

u = 1 - \dfrac{\pi}{2}\cdot 0 = 1

v = 0 + \dfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \dfrac{\pi}{2}

u' = \dfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \dfrac{\pi}{2}

v' = \dfrac{\pi}{2}\cdot 0 = 0

.

Подставляем в формулу:

y'(\pi/2) = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} = \dfrac{\dfrac{\pi}{2}\cdot \dfrac{\pi}{2} - 1\cdot 0}{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2} = \dfrac{\pi^2/4}{\pi^2/4} = 1.