Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.43

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = x(x - 1)(x - 2)\dots(x - 1985)

x_0 = 0

x_0 = 1985

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(0) = -1985!,\ y'(1985) = 1985!

Решение

Произведение

y = \prod_{k=0}^{1985} (x - k)

. Производная выражается суммой:

y' = \sum_{j=0}^{1985} \prod_{\substack{k=0 \\ k \neq j}}^{1985} (x - k).

При

x = 0

все члены суммы, кроме

j=0

, содержат множитель

x

и обращаются в ноль. Остаётся:

y'(0) = \prod_{k=1}^{1985} (0 - k) = (-1)(-2)\dots(-1985).

Число сомножителей 1985 — нечётное, поэтому знак «минус». Произведение модулей равно

1985!

. Следовательно,

y'(0) = -1985!

.

При

x = 1985

все члены суммы, кроме

j=1985

, содержат множитель

(x-1985)

и обращаются в ноль. Остаётся:

y'(1985) = \prod_{k=0}^{1984} (1985 - k) = 1985 \cdot 1984 \cdots 1 = 1985!.