Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.42

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = (1 + ax^b)(1 + bx^a)

x_0 = 1

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(1) = ab(a+b+2)

Решение

Производная произведения:

y' = (1 + ax^b)' \cdot (1 + bx^a) + (1 + ax^b) \cdot (1 + bx^a)'.

Вычисляем производные степенных функций:

(1 + ax^b)' = ab x^{b-1}

(1 + bx^a)' = ba x^{a-1}

.

Тогда

y' = ab x^{b-1} (1 + bx^a) + (1 + ax^b) ab x^{a-1}.

Подставляем

x_0 = 1

: все степени

x

равны 1,

y'(1) = ab (1 + b) + (1 + a) ab = ab(1 + b + 1 + a) = ab(a + b + 2).