Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.41

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{x - a}{x - b}

a \neq b

x_0 = a

. Вычислить производную

y'

в точке

x_0

Ответ:

y'(a) = \dfrac{1}{a-b}

Решение

По формуле производной частного:

y' = \dfrac{(x-a)'(x-b) - (x-a)(x-b)'}{(x-b)^2} = \dfrac{1\cdot(x-b) - (x-a)\cdot 1}{(x-b)^2} =

=\dfrac{x-b - x + a}{(x-b)^2} = \dfrac{a-b}{(x-b)^2}.

Подставляем

x_0 = a

y'(a) = \dfrac{a-b}{(a-b)^2} = \dfrac{1}{a-b}.