Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.38

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{\ln x}{\cth x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{\th x}{x} + \dfrac{\ln x}{\ch^2 x},\ x>0

Решение

Так как

\cth x = \ch x / \sh x

, то

1/\cth x = \th x

. Функция принимает вид

y = \ln x \cdot \th x

Дифференцируем произведение:

y' = (\ln x)' \th x + \ln x \cdot (\th x)' = \dfrac{1}{x} \cdot \th x + \ln x \cdot \dfrac{1}{\ch^2 x}.

Область существования:

x>0

(условие

\ln x

\sh x \neq 0

для

\cth x

, т.е.

x \neq 0

, но это уже покрыто условием

x>0