Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.37

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{\th x}{\ch^2 x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{1 - 2\sh^2 x}{\ch^4 x},\ \mathbb{R}

Решение

Перепишем функцию:

\th x = \sh x / \ch x

. Тогда

y = \dfrac{\sh x}{\ch^3 x}

Дифференцируем как частное:

y' = \dfrac{(\sh x)'\ch^3 x - \sh x (\ch^3 x)'}{\ch^6 x}= \dfrac{\ch x \cdot \ch^3 x - \sh x \cdot 3\ch^2 x \cdot \sh x}{\ch^6 x}= \dfrac{\ch^4 x - 3\sh^2 x \ch^2 x}{\ch^6 x}.

Сокращаем на

\ch^2 x

(так как

\ch x \neq 0

y' = \dfrac{\ch^2 x - 3\sh^2 x}{\ch^4 x}.

Учитывая

\ch^2 x = 1 + \sh^2 x

, числитель:

1 + \sh^2 x - 3\sh^2 x = 1 - 2\sh^2 x

.
Итак,

y' = \dfrac{1 - 2\sh^2 x}{\ch^4 x}

.

Область существования:

\mathbb{R}