Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.33

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.33

y=arcsin⁡xexy = \dfrac{\arcsin x}{e^x}. Вычислить производную y′y' и указать область её существования.
Ответ:y′=11−x2−arcsin⁡xex, x∈(−1,1)y' = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \arcsin x}{e^x},\ x\in(-1,1)

Решение

Дифференцируем частное:y′=(arcsin⁡x)′ex−arcsin⁡x(ex)′e2x=11−x2ex−arcsin⁡x⋅exe2x=11−x2−arcsin⁡xex.y' = \dfrac{(\arcsin x)' e^x - \arcsin x (e^x)'}{e^{2x}} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} e^x - \arcsin x \cdot e^x}{e^{2x}} = \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \arcsin x}{e^x}.Область существования: числитель arcsin⁡x\arcsin x определён при x∈[−1,1]x\in[-1,1], но производная arcsin⁡x\arcsin x существует при x∈(−1,1)x\in(-1,1). Знаменатель exe^x не ноль. Итог: x∈(−1,1)x\in(-1,1).
Кудрявцев № 13.33 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика