Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.32

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \log_x 2^x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{\ln 2}{\ln x} - \dfrac{\ln 2}{(\ln x)^2},\ x\in(0,1)\cup(1,+\infty)

Решение

Упростим:

y = x \log_x 2 = x \cdot \dfrac{\ln 2}{\ln x}

.
Дифференцируем произведение:

y' = (x)' \cdot \dfrac{\ln 2}{\ln x} + x \cdot \left( \dfrac{\ln 2}{\ln x} \right)' = \dfrac{\ln 2}{\ln x} + x \cdot \ln 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{x (\ln x)^2} \right) = \dfrac{\ln 2}{\ln x} - \dfrac{\ln 2}{(\ln x)^2}.

Область существования:

x>0,\ x\neq 1