Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.31

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \log_x 2

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = -\dfrac{\ln 2}{x (\ln x)^2},\ x\in(0,1)\cup(1,+\infty)

Решение

Перейдём к натуральному логарифму:

\log_x 2 = \dfrac{\ln 2}{\ln x}

.
Производная:

y' = \ln 2 \cdot \left( \dfrac{1}{\ln x} \right)' = \ln 2 \cdot \left( -\dfrac{1}{x (\ln x)^2} \right) = -\dfrac{\ln 2}{x (\ln x)^2}.

Область существования:

x>0,\ x\neq 1

(основание логарифма положительно и не равно единице, знаменатель

\ln x \neq 0