Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.30

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \log_2 x \cdot \ln x \cdot \log_3 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{3}{x} \log_2 x \cdot \log_3 x,\ x>0

Решение

Выразим все логарифмы через натуральный:

\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2},\quad \log_3 x = \dfrac{\ln x}{\ln 3}.

Тогда

y = \dfrac{(\ln x)^3}{\ln 2 \ln 3}.

Дифференцируем как степенную функцию от

\ln x

y' = \dfrac{1}{\ln 2 \ln 3} \cdot 3(\ln x)^2 \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{3 (\ln x)^2}{x \ln 2 \ln 3}.

Можно вернуться к исходным логарифмам:

y' = \dfrac{3}{x} \log_2 x \cdot \log_3 x.

Область существования:

x > 0

(все логарифмы).