Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.26

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = (\sqrt{2})^x + (\sqrt{5})^{-x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{1}{2}(\sqrt{2})^x \ln 2 - \dfrac{1}{2}(\sqrt{5})^{-x} \ln 5,\ \mathbb{R}

Решение

Перепишем с основанием

e

(\sqrt{2})^x = e^{x\ln\sqrt{2}} = 2^{x/2}

(\sqrt{5})^{-x} = e^{-x\ln\sqrt{5}} = 5^{-x/2}

.
Дифференцируем:

y' = 2^{x/2}\ln 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 5^{-x/2}\ln 5 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{1}{2} (\sqrt{2})^x \ln 2 - \dfrac{1}{2} (\sqrt{5})^{-x} \ln 5.

Область существования:

\mathbb{R}