Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.25

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \ln x^3 - \dfrac{9}{x} - \dfrac{27}{2x^3}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{x^2} + \dfrac{81}{2x^4},\ x>0

Решение

Логарифм

\ln x^3

определён при

x^3>0

, то есть

x>0

. При

x>0

упрощаем:

\ln x^3 = 3\ln x,\qquad y = 3\ln x - 9x^{-1} - \dfrac{27}{2}x^{-3}.

Дифференцируем почленно:

y' = 3\cdot\dfrac{1}{x} - 9\cdot(-1)x^{-2} - \dfrac{27}{2}\cdot(-3)x^{-4} = \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{x^2} + \dfrac{81}{2x^4}.

Область существования производной:

x>0