Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.24

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.24

y=arccos⁡xarcsin⁡xy = \dfrac{\arccos x}{\arcsin x}. Вычислить производную y′y' и указать область её существования.
Ответ:y′=−π21−x2 (arcsin⁡x)2, x∈(−1,0)∪(0,1)y' = -\dfrac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2},\ x\in(-1,0)\cup(0,1)

Решение

Производные обратных тригонометрических функций:(arccos⁡x)′=−11−x2,(arcsin⁡x)′=11−x2.(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad (\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.Применяем формулу производной частного:y′=(arccos⁡x)′⋅arcsin⁡x−arccos⁡x⋅(arcsin⁡x)′(arcsin⁡x)2=−11−x2arcsin⁡x−arccos⁡x⋅11−x2(arcsin⁡x)2.y' = \dfrac{(\arccos x)' \cdot \arcsin x - \arccos x \cdot (\arcsin x)'}{(\arcsin x)^2}
= \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arcsin x - \arccos x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{(\arcsin x)^2}.Выносим −11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} в числителе:y′=−arcsin⁡x+arccos⁡x1−x2 (arcsin⁡x)2.y' = -\dfrac{\arcsin x + \arccos x}{\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2}.Используем тождество arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} (верно для всех x∈[−1,1]x \in [-1,1]):y′=−π/21−x2 (arcsin⁡x)2=−π21−x2 (arcsin⁡x)2.y' = -\dfrac{\pi/2}{\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2} = -\dfrac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}\,(\arcsin x)^2}.Найдём область существования: arcsin⁡x\arcsin x и arccos⁡x\arccos x определены при x∈[−1,1]x \in [-1,1], но их производные — только на интервале (−1,1)(-1,1) (из-за корня в знаменателе).
- arcsin⁡x≠0\arcsin x \neq 0 (знаменатель дроби), что даёт x≠0x \neq 0.
Таким образом, x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1).
Кудрявцев № 13.24 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика