Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.23

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \arctg^2 x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{2\arctg x}{1+x^2},\ x\in\mathbb{R}

Решение

Дифференцируем как сложную функцию:

y' = 2\arctg x \cdot (\arctg x)' = 2\arctg x \cdot \dfrac{1}{1+x^2} = \dfrac{2\arctg x}{1+x^2}.

Область существования:

\arctg x

определён и дифференцируем при всех

x\in\mathbb{R}

, знаменатель

1+x^2 \neq 0

. Производная существует на

\mathbb{R}