Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.22

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = x\arcsin x

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \arcsin x + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}},\ x\in(-1,1)

Решение

Дифференцируем произведение:

y' = (x)'\arcsin x + x(\arcsin x)' = \arcsin x + x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}.

Область существования:

\arcsin x

определена при

x\in[-1,1]

, но её производная — только на

(-1,1)

(границы исключаются из-за знаменателя). Значит,

D(y') = (-1,1)