Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.20

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \dfrac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \dfrac{2}{(\cos x - \sin x)^2},\ x \neq \dfrac{\pi}{4} + \pi k

Решение

Обозначим числитель

u(x) = \sin x + \cos x

, знаменатель

v(x) = \cos x - \sin x

.
Найдём их производные:

u' = \cos x - \sin x = v, \qquad v' = -\sin x - \cos x = -u.

По формуле производной частного

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

подставляем:

y' = \dfrac{v \cdot v - u \cdot (-u)}{v^2} = \dfrac{v^2 + u^2}{v^2}.

Теперь вычислим

u^2 + v^2

u^2 + v^2 = (\sin x + \cos x)^2 + (\cos x - \sin x)^2.

Раскроем скобки:

(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x,

(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = 1 - \sin 2x.

Суммируя, получаем

u^2 + v^2 = (1+\sin 2x) + (1-\sin 2x) = 2

.

Таким образом,

y' = \dfrac{2}{(\cos x - \sin x)^2}.

Область существования: производная существует там, где определена исходная функция, т.е. знаменатель не равен нулю:

\cos x - \sin x \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad \tg x \neq 1 \quad \Longrightarrow \quad x \neq \dfrac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.