Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.2

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.2

Найти f′(x)f'(x) и указать область существования производной:
1) f(x)=x3+2xf(x)=x^3+2x;
2) f(x)=1/xf(x)=1/x;
3) f(x)=xf(x)=\sqrt{x};
4) f(x)=xx3f(x)=x\sqrt[3]{x};
5) f(x)=11+x2f(x)=\dfrac{1}{1+x^2};
6) f(x)=2x+1f(x)=2^{x+1};
7) f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x;
8) f(x)=sin⁡2xf(x)=\sin 2x;
9) f(x)=ctg⁡x+2f(x)=\ctg x+2;
10) f(x)=arcsin⁡xf(x)=\arcsin x;
11) f(x)=arccos⁡3xf(x)=\arccos 3x;
12) f(x)=7arctg⁡(x+1)f(x)=7\arctg(x+1).
Ответ:1)3x2+2, R;1) 3x^2+2,\ \mathbb{R}\allowbreak;
2) −1x2, x≠0;\text{2) } -\dfrac{1}{x^2},\ x\neq 0\allowbreak;
3) 12x, x>0;\text{3) } \dfrac{1}{2\sqrt{x}},\ x>0\allowbreak;
4) 43x3, R;\text{4) } \dfrac{4}{3}\sqrt[3]{x},\ \mathbb{R}\allowbreak;
5) −2x(1+x2)2,  R;\text{5) } -\dfrac{2x}{(1+x^2)^2},\ \ \mathbb{R}\allowbreak;
6) 2x+1ln⁡2, R;\text{6) } 2^{x+1}\ln 2,\ \mathbb{R}\allowbreak;
7) 1x, x>0;\text{7) } \dfrac{1}{x},\ x>0\allowbreak;
8) 2cos⁡2x, R;\text{8) } 2\cos 2x,\ \mathbb{R}\allowbreak;
9) −1sin⁡2x, x≠πk;\text{9) } -\dfrac{1}{\sin^2 x},\ x\neq\pi k\allowbreak;
10) 11−x2,  (−1,1);\text{10) } \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\ \ (-1,1)\allowbreak;
11) −31−9x2, (−13,13);\text{11) } -\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}},\ \left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}\right)\allowbreak;
12) 71+(x+1)2, R\text{12) } \dfrac{7}{1+(x+1)^2},\ \mathbb{R}

Решение

Дифференцируем почленно: (x3)′=3x2(x^3)'=3x^2, (2x)′=2(2x)'=2. Тогда f′(x)=3x2+2f'(x)=3x^2+2. Область существования: R\mathbb{R}.

Записываем f(x)=x−1f(x)=x^{-1}. Производная равна −1⋅x−2=−1x2-1\cdot x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}. Область существования: x≠0x\neq 0 (R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}).
x=x1/2\sqrt{x}=x^{1/2}. Тогда f′(x)=12x−1/2=12xf'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Область существования: x>0x>0 ((0,+∞)(0,+\infty)).
Преобразуем: xx3=x⋅x1/3=x4/3x\sqrt[3]{x}=x\cdot x^{1/3}=x^{4/3}. Производная: 43x1/3=43x3\dfrac{4}{3}x^{1/3}=\dfrac{4}{3}\sqrt[3]{x}. Область существования: R\mathbb{R}.
Используем запись (1+x2)−1(1+x^2)^{-1}. По правилу дифференцирования сложной функции: f′(x)=−(1+x2)−2⋅2x=−2x(1+x2)2f'(x)=-(1+x^2)^{-2}\cdot 2x=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2}. Область существования: R\mathbb{R}.

Представим 2x+1=2⋅2x2^{x+1}=2\cdot 2^x. Производная: 2⋅2xln⁡2=2x+1ln⁡22\cdot 2^x\ln 2=2^{x+1}\ln 2. Область существования: R\mathbb{R}.

Стандартная производная: f′(x)=1xf'(x)=\dfrac{1}{x}. Область существования: x>0x>0 ((0,+∞)(0,+\infty)).

Производная сложной функции: cos⁡2x⋅2=2cos⁡2x\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x. Область существования: R\mathbb{R}.

Производная ctg⁡x\ctg x равна −1/sin⁡2x-1/\sin^2 x, константа обнуляется. Получаем f′(x)=−1sin⁡2xf'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2 x}. Область существования: sin⁡x≠0\sin x\neq 0, т.е. x≠πk, k∈Zx\neq \pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Известная производная: 11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Область существования: −1<x<1-1<x<1 ((−1,1)(-1,1)).

Применяем формулу для arccos⁡u\arccos u: −11−(3x)2⋅3=−31−9x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}}\cdot 3=-\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^2}}. Область существования: ∣3x∣<1 ⇒ −13<x<13|3x|<1\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{3}.

Производная арктангенса: 7⋅11+(x+1)2=71+(x+1)27\cdot\dfrac{1}{1+(x+1)^2}=\dfrac{7}{1+(x+1)^2}. Область существования: R\mathbb{R}.
Кудрявцев № 13.2 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика