Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.19

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.19

y=xtg⁡xy = \dfrac{\sqrt{x}}{\tg x}. Вычислить производную y′y' и указать область её существования.
Ответ:y′=sin⁡xcos⁡x−2x2x sin⁡2x, x>0, x≠πk, x≠π2+πky' = \dfrac{\sin x \cos x - 2x}{2\sqrt{x}\,\sin^2 x},\ x>0,\ x\neq \pi k,\ x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k

Решение

x\sqrt{x} требует, чтобы x≥0x \ge 0. Для tg⁡x\tg x необходимо, чтобы cos⁡x≠0\cos x \neq 0. Также знаменатель tg⁡x≠0\tg x \neq 0 (sin⁡x≠0\sin x \neq 0). Производная:y′=12xtg⁡x−x⋅1cos⁡2xtg⁡2x=sin⁡xcos⁡x−2x2x sin⁡2x.y' = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\tg x - \sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\tg^2 x}
= \dfrac{\sin x \cos x - 2x}{2\sqrt{x}\,\sin^2 x}.Область существования: x>0x > 0, sin⁡x≠0\sin x \neq 0 и cos⁡x≠0\cos x \neq 0.
То есть x>0,  x≠πk,  x≠π2+πkx>0,\; x\neq \pi k,\; x\neq \dfrac{\pi}{2}+\pi k (k∈Z,  k≥0k\in\mathbb{Z},\; k\ge 0).
Кудрявцев № 13.19 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика