Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.18

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

y = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}

. Вычислить производную

y'

и указать область её существования.

Ответ:

y' = \begin{cases} \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}, & x \neq 0,\\ 0, & x = 0 \end{cases}

Решение

При

x \neq 0

дифференцируем частное:

y' = \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}.

В точке

x = 0

используем определение производной:

y'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{y(h) - y(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin h}{h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h - h}{h^2}.

Предел имеет неопределённость

0/0

. Применим правило Лопиталя (числитель и знаменатель дифференцируемы в окрестности нуля, знаменатель не равен нулю при

h \neq 0

Первый раз:

\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h - h}{h^2} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{2h}.

Снова неопределённость

0/0

. Применяем правило Лопиталя второй раз:

\lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{2h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-\sin h}{2} = \dfrac{0}{2} = 0.

Таким образом,

y'(0) = 0

.

Итоговая производная:

y' = \begin{cases}\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}, & x \neq 0,\\[1ex]0, & x = 0.\end{cases}

Область существования:

\mathbb{R}