Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.152

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = (\ch x)^{e^x}

Ответ:

y' = (\ch x)^{e^x} e^x \bigl( \ln(\ch x) + \th x \bigr)

Решение

Логарифмируем:

\ln y = e^x \ln(\ch x)

. Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = e^x \ln(\ch x) + e^x \cdot \dfrac{\sh x}{\ch x} = e^x \bigl( \ln(\ch x) + \th x \bigr).

Тогда

y' = (\ch x)^{e^x} e^x \bigl( \ln(\ch x) + \th x \bigr).