Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.151

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = (\arcsin \sin^2 x)^{\operatorname{arctg} x}

Ответ:

y' = (\arcsin \sin^2 x)^{\operatorname{arctg} x} \left( \dfrac{\ln(\arcsin \sin^2 x)}{1+x^2} + \dfrac{\operatorname{arctg} x \cdot \sin 2x}{\arcsin \sin^2 x \sqrt{1 - \sin^4 x}} \right)

Решение

Логарифмируем:

\ln y = \operatorname{arctg} x \cdot \ln \bigl( \arcsin \sin^2 x \bigr)

.
Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{1+x^2} \ln \bigl( \arcsin \sin^2 x \bigr)+ \operatorname{arctg} x \cdot \dfrac{1}{\arcsin \sin^2 x} \cdot \bigl( \arcsin \sin^2 x \bigr)'.

Производная арксинуса:

\bigl( \arcsin \sin^2 x \bigr)' = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \sin^4 x}} \cdot 2 \sin x \cos x = \dfrac{\sin 2x}{\sqrt{1 - \sin^4 x}}.

Тогда

\dfrac{y'}{y} = \dfrac{\ln(\arcsin \sin^2 x)}{1+x^2} + \dfrac{\operatorname{arctg} x \cdot \sin 2x}{\arcsin \sin^2 x \cdot \sqrt{1 - \sin^4 x}}.

Следовательно,

y' = (\arcsin \sin^2 x)^{\operatorname{arctg} x} \left( \dfrac{\ln(\arcsin \sin^2 x)}{1+x^2} + \dfrac{\operatorname{arctg} x \cdot \sin 2x}{\arcsin \sin^2 x \cdot \sqrt{1 - \sin^4 x}} \right).