Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.150

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 13.150

Вычислить производную функции y=∣sin⁡x∣cos⁡x\displaystyle y = |\sin x|^{\cos x} (при sin⁡x≠0\sin x \neq 0).
Ответ:y′=∣sin⁡x∣cos⁡x(−sin⁡xln⁡∣sin⁡x∣+cos⁡2xsin⁡x)y' = |\sin x|^{\cos x} \Bigl( -\sin x \ln |\sin x| + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x} \Bigr)

Решение

Логарифмируем: ln⁡y=cos⁡x⋅ln⁡∣sin⁡x∣\ln y = \cos x \cdot \ln |\sin x|. Дифференцируем:y′y=−sin⁡x⋅ln⁡∣sin⁡x∣+cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x=−sin⁡xln⁡∣sin⁡x∣+cos⁡2xsin⁡x.\dfrac{y'}{y} = -\sin x \cdot \ln |\sin x| + \cos x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}
= -\sin x \ln |\sin x| + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}.Тогдаy′=∣sin⁡x∣cos⁡x(−sin⁡xln⁡∣sin⁡x∣+cos⁡2xsin⁡x).y' = |\sin x|^{\cos x} \Bigl( -\sin x \ln |\sin x| + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x} \Bigr).
Кудрявцев № 13.150 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика