Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.149

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{x^x}

(при

x>0

Ответ:

y' = x^{x^x} \Bigl( x^x (\ln x + 1) \ln x + x^{x-1} \Bigr)

Решение

Логарифмируем:

\ln y = x^x \ln x

. Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = (x^x)' \ln x + x^x \cdot \dfrac{1}{x}.

Производная

x^x

(x^x)' = x^x (\ln x + 1)

. Подставляем:

\dfrac{y'}{y} = x^x (\ln x + 1) \ln x + x^{x-1}.

Тогда

y' = x^{x^x} \Bigl( x^x (\ln x + 1) \ln x + x^{x-1} \Bigr).