Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.147

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{e^x}

(при

x>0

Ответ:

y' = x^{e^x} e^x \Bigl( \ln x + \dfrac{1}{x} \Bigr)

Решение

Логарифмируем:

\ln y = e^x \ln x

. Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = e^x \ln x + e^x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x \Bigl( \ln x + \dfrac{1}{x} \Bigr).

Следовательно,

y' = x^{e^x} e^x \Bigl( \ln x + \dfrac{1}{x} \Bigr).