Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.146

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{x^2}

(при

x>0

Ответ:

y' = x^{x^2} (2x \ln x + x)

Решение

Логарифмируем:

\ln y = x^2 \ln x

. Дифференцируем:

\dfrac{y'}{y} = 2x \ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x \ln x + x.

Тогда

y' = x^{x^2} (2x \ln x + x) = x^{x^2 + 1} (2 \ln x + 1).