Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.145

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = x^{2 / \ln x} - 2x^{\log_x e} e^{1 + \ln x} + e^{1 + 2 / \log_x e}

(при

x>0,\; x\neq 1

Ответ:

y' = 2e(x - e)

Решение

Упростим каждое слагаемое.

x^{2/\ln x} = \bigl(e^{\ln x}\bigr)^{2/\ln x} = e^{2} = e^2

\log_x e = \dfrac{\ln e}{\ln x} = \dfrac{1}{\ln x}

, поэтому

x^{\log_x e} = x^{1/\ln x} = e^{\ln x \cdot (1/\ln x)} = e

.
Далее,

e^{1 + \ln x} = e \cdot e^{\ln x} = e x

. Произведение:

2 \cdot e \cdot (e x) = 2 e^2 x

. Со знаком «минус» получаем

-2e^2 x

\dfrac{2}{\log_x e} = 2 \ln x

. Тогда

e^{1 + 2/\log_x e} = e^{1 + 2\ln x} = e \cdot e^{2\ln x} = e x^2

Проверка

Следовательно,

y = e^2 - 2e^2 x + e x^2.

Дифференцируем:

y' = -2e^2 + 2e x = 2e(x - e).