Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.144

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = \log_2 x \cdot \log_x e + \log_2 x \cdot \ln 2

Ответ:

y' = \dfrac{1}{x}, \text{при } x>0,\; x\neq 1

Решение

Используем натуральные логарифмы:

\log_2 x = \dfrac{\ln x}{\ln 2}

\log_x e = \dfrac{1}{\ln x}

. Подставим:

y = \dfrac{\ln x}{\ln 2} \cdot \dfrac{1}{\ln x} + \dfrac{\ln x}{\ln 2} \cdot \ln 2 = \dfrac{1}{\ln 2} + \ln x.

Первое слагаемое — константа. Следовательно,

y' = 0 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}.