Раздел III. Производная и дифференциал — § 13. Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции

Кудрявцев — задача 13.140

Л. Д. Кудрявцев, «Сборник задач по математическому анализу. Том 1». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить производную функции

\displaystyle y = e^x \arcsin \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}} + \operatorname{arctg}\bigl(\sqrt{e^x}\bigr) - \sqrt{e^x}

Ответ:

y' = e^x \arctg \sqrt{e^x}

Решение

Обозначим

u = \sqrt{e^x} = e^{x/2} > 0

. Тогда

\sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}} = \dfrac{u}{\sqrt{u^2+1}}.

Рассмотрим

\alpha = \arcsin \dfrac{u}{\sqrt{u^2+1}}

. Поскольку

\sin\alpha = \dfrac{u}{\sqrt{u^2+1}}

, имеем

\cos\alpha = \sqrt{1 - \dfrac{u^2}{u^2+1}} = \dfrac{1}{\sqrt{u^2+1}}

. Тогда

\tg\alpha = u

, откуда

\alpha = \arctg u

. Следовательно,

\arcsin \sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}} = \arctg u = \arctg \sqrt{e^x}.

Исходная функция принимает вид

\displaystyle y\mathrel{=}

Теперь

y

выражается только через

u

. Найдём производную по

x

через

u

y' = \dfrac{d}{du}\bigl((u^2+1)\arctg u - u\bigr) \cdot u'.

Производная по

u

\dfrac{d}{du}\bigl((u^2+1)\arctg u - u\bigr) = 2u \arctg u + (u^2+1)\dfrac{1}{1+u^2} - 1 = 2u \arctg u + 1 - 1 = 2u \arctg u.

Производная

u

u = e^{x/2}

u' = \dfrac{1}{2} e^{x/2} = \dfrac{u}{2}

. Тогда

y' = 2u \arctg u \cdot \dfrac{u}{2} = u^2 \arctg u = e^x \arctg \sqrt{e^x}.